Contoh soal pembahasan dan pembuktian rumus heron : Share & Care

Pembuktian Rumus Heron

| September 9, 2014 | 0 Comments

Pembuktian Rumus Heron Untuk Mengghitung Luas Segitiga Sembarang

 

Sebelum membahas pembuktian rumus heron, kalian pasti sudah tahu cara menghitung luas segitiga bukan? Luas segitiga dapat di hitung jika telah diketahui alas dan tingginya tinggal meng-input kedalam rumus luas segitiga bisa langsung di dapat. Bagaimana menghitung luas segitiga sembarang yang hanya di ketahui panjang ketiga sisinya? cara termudah adalah dengan rumus heron.

 

Langkah-langkah Pembuktian rumus Heron

Misalkan diketahui segitiga ABC sembarang dengan panjang ketiga sisinya berturut-turut adalah a,\, b,\, c maka luas segitiga ABC adalah :

pembuktian rumus heron

Pembuktian rumus heron pada segitiga sembarang

L=\sqrt{s.(s-a).(s-b).(s-c)}

Rumus diatas di kenal dengan rumus heron, dari mana rumus heron di peroleh? perhatikan pembuktian rumus heron dibawah ini :

[Bukti]

\dpi{80} \fn_cm \\L=\frac{1}{2}\, bc\, sin\, A \\\\L=\frac{1}{2}\, bc\sqrt{1-cos^{2}A} \\\\L=\frac{1}{2}\, bc\,\sqrt{1-\left ( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right )^2} \\\\L=\frac{1}{2}\, bc\,\sqrt{\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}}

\dpi{80} \fn_cm \\\\L=\frac{1}{2}\, bc\,.\frac{1}{2bc}.\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2} \\\\L=\frac{1}{4}.\sqrt{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)} \\\\L=\frac{1}{4}.\sqrt{\left \{ (2bc+b^2+c^2)-a^2 \right \}\left \{ a^2-(b^2-2bc+c^2) \right \}} \\\\L=\frac{1}{4}.\sqrt{\left \{ (b+c)^2-a^2 \right \}\left \{ a^2-(b-c)^2 \right \}}

\dpi{80} \fn_cm \\\\L=\frac{1}{4}\sqrt{(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)} \\\\L=\sqrt{\frac{b+c+a}{2}.\, \, \frac{b+c-a}{2}.\, \: \frac{a+b-c}{2}\: .\, \frac{a-b+c}{2}}

\dpi{80} \fn_cm \\\\L=\sqrt{\frac{b+c+a}{2}.\left ( \frac{a+b+c}{2}-a \right ).\left (\frac{a+b+c}{2}-c \right ).\left ( \frac{a+b+c}{2}-b \right )} \\\\L=\sqrt{s.(s-a).(s-b).(s-c)}

\dpi{100} \bg_green \fn_cm \therefore L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Pembuktian rumus heron diatas menggunakan teorema atau rumus-rumus yang sebelumnya harus diketahui terlebih dahulu yaitu:

  1. Pada langkah kedua di peroleh dari rumus identitas trigonometri yaitu: \dpi{80} \fn_cm sin^2A=1-cos^2 \Leftrightarrow sinA=\sqrt{1-cos^2A}
  2. Pada langkah kelima gunakan rumus selisih kuadrat yaitu:\dpi{80} \fn_cm a^2-b^2=(a+b)(a-b) hasilnya langkah ke-6
  3. Rumus   \dpi{80} \fn_cm \frac{a+b+c}{2}=s
  4. Langkah selanjutnya adalah dengan manipulasi aljabar sampai pada langkah akhir

Rumus heron dapat mempermudah pekerjaan kita dalam mencari luas segitiga sembarang yang di ketahui ketiga sisinya, karena tidak perlu mencari tinggi segitiga.

 

Pembuktian rumus heron dan Contoh Soal dan pembahasan

Untuk mengetahui penerapan rumus heron di bawah ini contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan rumus heron.

Diketahui segitiga ABC, dengan denga panjang sisi  \dpi{80} \fn_cm a,b,\, dan\, c berturut-turut 15 cm, 7 cm dan 20 cm

[Penyelesaian]

\dpi{80} \fn_cm \\\\s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+7+20}{2}=21 \\\\ L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\\\L=\sqrt{21.(21-15)(21-7)(21-20)} \\\\L=\sqrt{21.6.14.1} \\\\L=28\sqrt{6}\, cm^2

Lebih mudah bukan menghitung luas segitiga dengan rumus heron? tetapi memang kalian harus tahu terlebih dahulu bagaimana pembuktian rumus heron supaya lebih mantap dalam menyelesaikan soal.

Tags: , , ,

Category: Matematika

%d bloggers like this: